Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，記g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]．若y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先表述出函數(shù)f（x）的解析式然后代入將函數(shù)g（x）表述出來，然后對底數(shù)a進行討論即可得到答案．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴f（x）=log_ax（x＞0）．
g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=log_ax（log_ax+log_a2-1）
=（log_ax+

loga2-1

2

）²-

(loga2-1)2

4

，
①當(dāng)a＞1時，y=log_ax在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，∴l(xiāng)og_ax∈[log_a

1

2

，log_a2]．
由于y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，∴

1-loga2

2

≤loga

1

2

，化為log_a2≤-1，
解得a≤

1

2

，舍去．
②當(dāng)0＜a＜1時，y=log_ax在區(qū)間[

1

2

，2]上是減函數(shù)，∴l(xiāng)og_ax∈[log_a2，log_a

1

2

]．
由于y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)，∴

1-loga2

2

≥loga

1

2

，解得0＜a≤

1

2

．
綜上可得：0＜a≤

1

2

．
故答案為：（0，

1

2

]．

點評：本題考查反函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．