Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx•cosωx+

3

cos²ωx-

3

2

（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

4

．
（Ⅰ）求f（x）在x∈[-π，0]的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，

π

2

]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可求得f（x）=sin（2ωx+

π

3

），依題意，可求得函數(shù)y=f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=

π

2

，解得ω=2，從而可求得f（x）在x∈[-π，0]的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=sin（2x-

π

6

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，

π

2

]上有解時，實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：f（x）=sinωx•cosωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

•

1+cos2ωx

2

-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

3

）…2分
（Ⅰ）∵直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

4

．
∴函數(shù)y=f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2…4分
∴f（x）=sin（4x+

π

3

）…5分
令2kπ-

π

2

≤4x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得

kπ

2

-

5π

24

≤x≤

kπ

2

+

π

24

（k∈Z），
∵x∈[-π，0]，故該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是[-π，-

23

24

π]，[-

17

24

π，-

11

24

π]，[-

5π

24

，0]，
…8分；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位后得函數(shù)解析式為y=sin[4（x-

π

8

）+

π

3

]=sin（4x-

π

6

），
…9分
再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x-

π

6

）的圖象，
…10分
∵x∈[0，

π

2

]，
∴g（x）=-k∈[-

1

2

，1]，
∴k∈[-1，

1

2

]…12分

點評：本題考查三角恒等變換與函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性及最值的綜合應(yīng)用，屬于難題．