如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側(cè)棱PC上的兩個三等分點．
①求證：AN∥平面MBD；
②求二面角M-BD-C的余弦值．
分析：①利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
②通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用求兩個平面的法向量所成的夾角的余弦值即可．
解答：解：①證明：連接對角線AC交BD于點O，
∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．
又∵NM=MC=
1
3
PC，∴OM∥AN．
又∵AN?平面MBD，OM?平面MBD．
∴AN∥平面MBD；
②距離如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．
由M點為線段PC的三等分點，∴M（4，2，1）．
∴
DB
=(-6，3，0)，
DM
=(-2，2，1)．
設(shè)平面BMD的法向量
n
=(x，y，z)．
則
n
•
DB
=0
n
•
DM
=0
即
-6x+3y=0
-2x+2y+z=0
，令y=2，則x=1，z=
5
2
．
∴
n
=(1，2，
5
2
)．
∵PA⊥平面BCD，∴可取
AP
=（0，0，3）作為平面BCD的法向量．
∴cos＜
n
，
AP
＞=
n
•
AP
|
n
| |
AP
|
=
3×
5
2
12+22+(
5
2
)2
32
=
5
3
．
∴二面角M-BD-C的余弦值為
5
3
．
點評：熟練掌握三角形的中位線定理和線面平行的判定定理及利用兩個平面的法向量所成的夾角的余弦值求二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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