Question

已知函數F（x）=|3x-1|+ax
（Ⅰ）當a=3時，解關于x的不等式f（x）≥|x-3|；
（Ⅱ）若f（x）≥x-

1

2

在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=3時，關于x的不等式即|3x-1|-|x-3|+3x≥0，轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得函數h（x）=|3x-1|+

1

2

的圖象應該在直線y=（1-a）x的上方或重合，可得0≤1-a≤1，或-2≤1-a＜0，由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=3時，關于x的不等式f（x）≥|x-3|即|3x-1|+3x≥|x-3|，
即|3x-1|-|x-3|+3x≥0．
∴

x≥3 3x-1-(x-3)+3x≥0

①，或

1 3 ≤x＜3 3x-1-(3-x)+3x≥0

②，或 

x＜ 1 3 1-3x-3+x+3x≥0

．
解①求得x≥3，解②求得

4

7

≤x＜3，解③求得x∈∅．
綜上可得，不等式的解集為[

4

7

，+∞）．
（Ⅱ）若f（x）≥x-

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2

在R上恒成立，即|3x-1|+ax≥x-

1

2

在R上恒成立，
即|3x-1|+

1

2

≥（1-a）x．
故函數h（x）=|3x-1|+

1

2

的圖象應該在直線y=（1-a）x的上方或重合．
如圖所示：

∴0≤1-a≤3，或-3≤1-a＜0，解得-2≤a≤1，或 1＜a≤4，
即a的范圍是[-2，4]

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，很熟的恒成立問題，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．