Question

已知整數(shù)a，b，c，t滿足：2^a+2^b=2^c，t=

a+b

c

，則log₂t的最大值是（　　）

• A、0
• B、log₂3
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知得t=

a+b

log2(2a+2b)

≤

a+b

log2(2 2a+b )

=

a+b

1+ a+b 2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取最大值，從而t_max=

2a

1+a

=

2

1 a +1

，c=a+1，當(dāng)a=b=-2時(shí)，c=-1，t=

-2-2

-1

=4．由此能求出log₂t的最大值．

解答： 解：∵整數(shù)a，b，c，t滿足：2^a+2^b=2^c，t=

a+b

c

，
∴t=

a+b

log2(2a+2b)

≤

a+b

log2(2 2a+b )

=

a+b

1+ a+b 2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取最大值，
∴當(dāng)a=b＞0時(shí)，t_max=

2a

1+a

=

2

1 a +1

，c=a+1，
∵a，b，c，t是整數(shù)，∴a=1，t=1，
∴l(xiāng)og₂t的最大值為log₂1=0．
當(dāng)a=b=-2時(shí)，c=-1，t=

-2-2

-1

=4，
∴l(xiāng)og₂t的最大值為log₂4=2．
綜上所述，log₂t的最大值是2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)值的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意均值不等式的合理運(yùn)用．