Question

如圖所示，將一塊直角三角形板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點(diǎn)P(

1

2

，

1

4

)是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點(diǎn)P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN．設(shè)直線MN的斜率為k，問：
（1）求直線MN的方程？
（2）求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，并求k范圍？
（3）用區(qū)間D表示△AMN的面積的取值范圍，求出區(qū)間D？若S²＞m（-2S+1）對任意S∈D恒成立，求m的取值范圍？

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

專題：直線與圓

分析：（1）利用點(diǎn)斜式即可得出；
（2）由已知可得：直線OA方程為：y=x 直線AB方程為：x=1，分別與直線MN的方程聯(lián)立即可得出；
（3）利用三角形的面積計算公式可得S_△AMN，通過換元利用導(dǎo)數(shù)即可得出其單調(diào)性最值，進(jìn)而得出區(qū)間D；
已知S²＞m（-2S+1）對任意S∈D恒成立．可轉(zhuǎn)化為m＜

S2

-2S+1

=

1

( 1 S -1)2-1

，S∈[

1

4

，

1

3

]，

1

S

∈[3，4]．
再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）依題意得直線MN的斜率存在，則設(shè)MN方程為：y-

1

4

=k(x-

1

2

)．
（2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
∴直線OA方程為：y=x 直線AB方程為：x=1，
由

y- 1 4 =k(x- 1 2 ) y=x

得M(

2k-1

4(k-1)

，

2k-1

4(k-1)

)．
∵

2k-1

4(k-1)

≥0，∴k＞1或k≤

1

2

，
又由

y- 1 4 =k(x- 1 2 ) x=1

得N(1，

2k+1

4

)且

2k+1

4

≥0，
得k≥-

1

2

，∴-

1

2

≤k≤

1

2

．
（3）S_△AMN=

1

2

•|AN|•h=

1

2

[1-

2k-1

4

][1-

2k-1

4(k-1)

]=

1

32

[4(1-k)+

1

1-k

+4]．
設(shè)t=1-k∈[

1

2

，

3

2

]，f(t)=4t+

1

t

．
∵f′(t)=4-

1

t2

=

4t2-1

t2

≥0，
∴f（t）在[

1

2

，

3

2

]是單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=

3

2

時，f(t)=

20

3

，即當(dāng)1-k=

3

2

時即k=-

1

2

時，
（S_△）_max=

1

32

[

20

3

+4]=

1

3

.t=

1

2

（S_△）_min=

1

4

，∴D=[

1

4

，

1

3

]．
已知S²＞m（-2S+1）對任意S∈D恒成立．
又∵-2S+1∈[

1

3

，

1

2

]，
∴m＜

S2

-2S+1

=

1

( 1 S -1)2-1

，S∈[

1

4

，

1

3

]，

1

S

∈[3，4]．
∴m＜(

1

( 1 S -1)2-1

)min=

1

8

．

點(diǎn)評：本題考查了直線的點(diǎn)斜式方程、三角形的面積計算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．