Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

），其中x∈R，ω為正常數(shù)．
（1）當(dāng)ω=2時，求f（

π

3

）的值；
（2）記f（x）的最小正周期為T，若f（

π

3

）=1，求T的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理得到f（x）的解析式，把ω=2，x=

π

3

代入求得答案．
（2）把x=

π

3

代入函數(shù)解析式，然后利用周期公式表示出T，進(jìn)而求得T的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

）=sinωx+

3

2

cosωx-

1

2

sinωx=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx=sin（ωx+

π

3

），
∴當(dāng)ω=2時，f（x）=sin（2x+

π

3

），
∴f（

π

3

）=sin（

2π

3

+

π

3

）=sinπ=0．
（2）f（

π

3

）=sin（ω•

π

3

+

π

3

）=1，
∴ω•

π

3

+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴ω=6k+

1

2

，k∈Z
∴T=

2π

ω

=

2π

6k+ 1 2

，當(dāng)k=0時，T有最大值為4π．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．考查了學(xué)生推理和分析問題的能力．