Question

一個(gè)身高1.8m的人，以1.2m/s的速度離開(kāi)路燈，路燈高4.2m．
（1）求身影的長(zhǎng)度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系；
（2）解釋身影長(zhǎng)的變化率與人步行速度的關(guān)系；
（3）求x=3m時(shí)，身影長(zhǎng)的變化率．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,變化的快慢與變化率

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，列出等式求出y；
（2）設(shè)離開(kāi)路燈的時(shí)間為t，人步行速度為v，則x=vt，得到y(tǒng)=3vt，然后對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，即可判斷身影長(zhǎng)的變化率與人步行速度的關(guān)系；
（3）根據(jù)變化率的定義即可求出．

解答： 解：（1）設(shè)人距路燈的距離BO′=x，路燈高OO′=4.2m，BC=1.8，這時(shí)影長(zhǎng)為AB=y，
如圖由平幾的知識(shí)可得，
∴

BC

OO′

=

AB

AO′

，
∴

1.8

4.2

=

y

y+x

，
即y=

3

4

x；
（2）設(shè)離開(kāi)路燈的時(shí)間為t，人步行速度為v，則x=vt，
∴y=

3

4

vt，
由導(dǎo)數(shù)的意義知人影長(zhǎng)度的變化速度v=y′（t）=

3

4

v（m/s），
∴身影長(zhǎng)的變化率與人步行速度成正比；
（3）當(dāng)x=3m時(shí)，y=

9

4

m，
∴

△y

△x

=

9 4 -0

3-0

=

3

4

∴x=3m時(shí)，身影長(zhǎng)的變化率

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，屬于中檔題