已知f(x)=sinx+acosx,
(1)若a=
3
,求f(x)的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值.
(2)若f(
π
4
)=0,f(x)=
1
5
(0<x<π),求tanx的值.
考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)線
專(zhuān)題:三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)a=
3
時(shí),利用兩角和的正弦值化簡(jiǎn)f(x),求出x取何值時(shí)f(x)有最大值;
(2)由f(
π
4
)=0求出a的值,再由f(x)=
1
5
,求出cosx、sinx的值,從而求出tanx的值.
解答: 解:(1)a=
3
時(shí),
f(x)=sinx+
3
cosx
=2sin(x+
π
3
),…(2分)
當(dāng)sin(x+
π
3
)=1,
即x+
π
3
=
π
2
+2kπ(k∈Z),
∴x=
π
6
+2kπ(k∈Z)時(shí),
f(x)有最大值2; …(6分)
(2)∵f(
π
4
)=sin
π
4
+acos
π
4

=
2
2
+
2
2
a=0,
∴a=-1;…(8分)
∴f(x)=sinx-cosx=
1
5
,
(sinx-cosx)2=
1
25
,
sinx•cosx=
12
25
,
即(cosx+
1
5
)cosx=
12
25
; 
整理得,25cos2x+5cosx-12=0,
解得,cosx=
3
5
,或cosx=-
4
5
;
當(dāng)cosx=
3
5
時(shí),sinx=
4
5

當(dāng)cosx=-
4
5
時(shí),sinx=-
3
5
;
又∵x∈(0,π)∴取
cosx=
3
5
sinx=
4
5
;
∴tanx=
4
3
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題以及三角函數(shù)求值的問(wèn)題,也考查了一定的計(jì)算能力,是較基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|lgx|,x>0
x+7,x≤0
,若關(guān)于x的方程f(x2+2x)=a有6個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(0,6]
B、(0,7]
C、(6,7]
D、(6,7)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若集合A⊆X,X為全集,則稱(chēng)函數(shù)fA(x)=
1,x∈A
0,x∉A
為A的特征函數(shù).記CxA=
.
A
那么,對(duì)A,B⊆X,下列命題不正確的是( 。
A、A⊆B⇒fA(x)≤fB(x),?x∈X
B、f
.
A
(x)=1-fA(x),?x∈X
C、fA∩B(x)=fA(x)fB(x),?x∈X
D、fA∪B(x)=fA(x)+fB(x),?x∈X

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=alnx+
2(1-x)
1+x
(a∈R)定義域?yàn)椋?,1),則f(x)的圖象不可能是( 。
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-3,-2]上是減函數(shù),α,β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則f(sinα)與f(cosβ)的大小關(guān)系是( 。
A、f(sinα)>f(cosβ)
B、f(sinα)<f(cosβ)
C、f(sinα)=f(cosβ)
D、f(sinα)與f(cosβ)的大小關(guān)系不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2cos(x+
π
3
)[sin(x+
π
3
)-
3
cos(x+
π
3
)].
(1)求f(x)的值域和最小正周期;
(2)若對(duì)任意x∈[0,
π
6
],使得m[f(x)+
3
]+2=0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,頂點(diǎn)D,C分別在AM,BN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與A重合,點(diǎn)C不與B重合),E是AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,B重合),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持DE⊥CE,且AD+DE=AB=a.
(1)求證:△ADE∽△BEC;
(2)設(shè)AE=m,請(qǐng)?zhí)骄浚骸鰾EC的周長(zhǎng)是否與m值有關(guān),若有關(guān)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示△BEC的周長(zhǎng);若無(wú)關(guān)請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(Ⅰ)若實(shí)數(shù)s,t是方程20x2+14x+1=0的兩不等實(shí)根,求值:s2+t2;
(Ⅱ)若實(shí)數(shù)s,t分別滿足20s2+14s+1=0,t2+14t+20=0且st≠1,求值:
st+4s+1
t

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={x|x>0},B={x|x2-(a+b)x+ab<0,a,b∈R},D=A∩B,函數(shù)f(x)=x3+x2+bx+1
(1)當(dāng)b=1時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)a=b+1,且f(x)在D上有極小值時(shí),求b的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,不等式f(x)≤1對(duì)任意的x∈D恒成立,求b的取值范圍.

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