Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，A₁C₁與B₁D₁交于點(diǎn)N，BC₁與B₁C交于點(diǎn)M，且AM⊥BN，建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）求AA₁的長(zhǎng)；
（2）求＜

BN

，

AD1

＞；
（3）對(duì)于n個(gè)向量

a1

，

a2

，…，

an

，如果存在不全為零的n個(gè)實(shí)數(shù)λ₁，λ₂，…，λ_n，使得λ₁

a1

+λ₂

a2

+…+λ_n

an

=0成立，則這n個(gè)向量

a1

，

a2

，…，

an

叫做線性相關(guān)，不是線性相關(guān)的向量叫線性無關(guān)，判斷

AM

，

BN

，

CD

是否線性相關(guān)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁的長(zhǎng)為a，可求得B，N、A、M的坐標(biāo)，繼而可得

BN

=（-2，-2，a），

AM

=（-2，4，

a

2

），由

AM

⊥

BN

⇒

AM

•

BN

=0，可求得a=2

2

，即AA₁的長(zhǎng)；
（2）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得cos＜

BN

，

AD1

＞=

BN • AD1

| BN || AD1 |

=

6

3

，利用反三角函數(shù)即可求得＜

BN

，

AD1

＞=arccos

6

3

；
（3）由于

AM

=（-2，4，

2

），

BN

=（-2，-2，2

2

），

CD

=（0，-4，0），利用λ₁

AM

+λ₂

BN

+λ₃

CD

=0可求得λ₁=λ₂=λ₃=0，從而可作出正確判斷．

解答： 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)AA₁的長(zhǎng)為a，則B（4，4，0），N（2，2，a），

BN

=（-2，-2，a），A（4，0，0），M（2，4，

a

2

），

AM

=（-2，4，

a

2

），
由

AM

⊥

BN

，得由

AM

•

BN

=0，即a=2

2

．
（2）

BN

=（-2，-2，2

2

），

AD1

=（-4，0，2

2

），cos＜

BN

，

AD1

＞=

BN • AD1

| BN || AD1 |

=

6

3

，＜

BN

，

AD1

＞=arccos

6

3

．
（3）由

AM

=（-2，4，

2

），

BN

=（-2，-2，2

2

），

CD

=（0，-4，0），λ₁（-2，4，

2

）+λ₂（-2，-2，2

2

）+λ₃（0，-4，0）=（0，0，0）
得λ₁=λ₂=λ₃=0，

AM

，

BN

，

CD

是線性無關(guān)

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)的點(diǎn)與所需向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵，考查作圖、分析與推理運(yùn)算能力，考查轉(zhuǎn)化思想．