Question

已知點(diǎn)Q（m，0），P是橢圓

x2

4

+y2=1的動點(diǎn)．若點(diǎn)P恰在橢圓的右頂點(diǎn)時，線段PQ的長度取到最小，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

m≥

3

2

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），令d=|PQ|=

(x-m)2+y2

，則d²=（x-m）²+y²，根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：設(shè)P（x，y），令d=|PQ|=

(x-m)2+y2

（-2≤x≤2），
則d²=（x-m）²+y²=（x-m）²+1-

x2

4

=

3

4

x²-2mx+m²+1，
顯然，d²（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)，
∵點(diǎn)P恰在橢圓的右頂點(diǎn)時，線段PQ的長度取到最小，
∴d²（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減且d²（2）≥0，
∴d²（x）的對稱軸x=-

-2m

2× 3 4

=

4m

3

≥2，即m≥

3

2

．
且d²（2）=3-4m+m²+1=（m-2）²≥0恒成立，
∴m≥

3

2

．
故答案為：m≥

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，考查分析與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．