Question

已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)．
（1）證明：f（x）=f（|x|）
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，求滿足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和．

Answer 1

分析：（1）去絕對(duì)值，分x≥0和x＜0，兩種情況討論．
（2）利用（1）的結(jié)論，將f(x)=f(

x+3

x+4

)轉(zhuǎn)化為f(|x|)=f(|

x+3

x+4

|)．再利用x≥0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，可得到|x|=|

x+3

x+4

|求解．

解答：（1）證明：①若x≥0，則有|x|=x，既有f（|x|）=f（x）．
②若x＜0，則有|x|=-x，既有f（|x|）=f（-x）．
因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）．因此f（|x|）=f（-x）=f（x）．
綜上所述，f（x）=f（|x|）
（2）解：因?yàn)?span id="dddviuh" class="MathJye">f(x)=f(

x+3

x+4

)，
由（1）可得f(|x|)=f(|

x+3

x+4

|)．
又因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，所以有|x|=|

x+3

x+4

|．
當(dāng)x=-

x+3

x+4

時(shí)，整理得x²+5x+3=03，可得x₁+x₂=-54．
當(dāng)x=

x+3

x+4

時(shí)，整理得x²+3x-3=07，可得x₁+x₂=-38．
綜上可得所有的x之和為-8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及其重要模型，還考查了函數(shù)的單調(diào)性定義，將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量關(guān)系來解方程．這類問題較為常規(guī)，要熟練掌握．