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1.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,anan+1=2n,n∈N.
(1)若函數(shù)f(x)=Asin(2x+ϕ)(A>0,0<ϕ<π)在x=\frac{π}{6}處取得最大值a4+1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-\frac{π}{12},\frac{π}{2}]上的值域.
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

分析 (1)由anan+1=2n,求出a2,a3,a4,可得A,運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可得到所求值域;
(2)討論n為奇數(shù),n為偶數(shù),運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式,即可得到所求通項.

解答 解:(1)∵{a_n}{a_{n+1}}={2^n},
{a_{n+1}}{a_{n+2}}={2^{n+1}}
相除\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=2,
又a1=1,故{a_1}{a_2}={2^1}⇒{a_2}=2,
∴a3=2,a4=4,
∴A=a4+1=5,故f(x)=5sin(2x+ϕ)
x=\frac{π}{6}時,f(x)max=5,
sin(\frac{π}{3}+ϕ)=1,且0<ϕ<π解得:ϕ=\frac{π}{6}
f(x)=5sin(2x+\frac{π}{6}),
x∈[-\frac{π}{12},\frac{π}{2}],故2x+\frac{π}{6}∈[0,\frac{7π}{6}]
從而sin(2x+\frac{π}{6})∈[-\frac{1}{2},1],
可得:f(x)∈[-\frac{5}{2},5]
(2)由(1)得:a1=1,a2=2,\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2,
∴當(dāng)n為奇數(shù)時,{a_n}={a_1}×{2^{\frac{n-1}{2}}}={2^{\frac{n-1}{2}}},
當(dāng)n為偶數(shù)時,{a_n}={a_2}×{2^{\frac{n-2}{2}}}={2^{\frac{n}{2}}},
∴數(shù)列{an}的通項公式為:an=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2},n為奇數(shù)}}\\{{2}^{\frac{n}{2}},n為偶數(shù)}\end{array}\right.

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式,考查數(shù)列的通項公式的求法,注意運(yùn)用分類討論思想方法和等比數(shù)列的通項公式,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.2B.3C.4D.5

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A組B組合計
男性262450
女性302050
合計5644100
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認(rèn)為“A組”用戶與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈送營養(yǎng)面膜1份,求所抽取5人中“A組”和“B組”的人數(shù);
(3)從(2)中抽取的5人中再隨機(jī)抽取2人贈送200元的護(hù)膚品套裝,求這2人中至少有1人在“A組”的概率.
參考公式:K2=\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d為樣本容量.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k00.500.400.250.050.0250.010
k00.4550.7081.3233.8415.0246.635

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A.\frac{5}{32}B.\frac{9}{32}C.\frac{9}{16}D.\frac{5}{16}

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16.已知直線a,b,平面α,滿足a⊥α,且b∥α,有下列四個命題:
①對任意直線c?α,有c⊥a;
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其中正確的命題有①②③④(填寫所有正確命題的編號)

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(2)該廠2016年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?

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