【題目】已知拋物線E：的焦點為F，過點F的直線l與E交于A，C兩點

（1）分別過A，C兩點作拋物線E的切線，求證：拋物線E在A、C兩點處的切線互相垂直；

（2）過點F作直線l的垂線與拋物線E交于B，D兩點，求四邊形ABCD的面積的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）32

【解析】

（1）設(shè)出直線l的方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及導數(shù)求得斜率相乘為﹣1即可；

（2）用弦長公式求出弦長|AC|和|BD|，再算出面積后，用基本不等式求最值．

（1）證明：設(shè)過點F（0，1）的直線方程為：y＝kx+1，

由，得x2﹣4kx﹣4＝0，

設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），

則，

∵yx2，∴y′x，

設(shè)拋物線E在點A、C兩點處的切線的斜率分別為k1，k2，

則k1k2x1x2x1x2＝﹣1，

故拋物線E在A，C兩點處的切線互相垂直．

（2）由（1）知|AC|4（k2+1）

同理|BD|＝4（1）

∴S四邊形ABCD|AC||BD|＝8（k2+1）（1）

＝8（1+k21）

≥8（2+2）

＝32，

∴四邊形ABCD的面積的最小值為32．

練習冊系列答案
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③回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程為 =1.23x+0.08；
④m=3是直線（m+3）x+my﹣2=0與直線mx﹣6y+5=0互相垂直的充要條件．
A.1
B.3
C.2
D.4

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A.4π
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C.π（2﹣h）2
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