Question

15．定義在（0，$\frac{π}{2}$）的函數(shù)f（x）=8sinx-tanx的最大值為$3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，求其最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=8sinx-tanx，
那么：f′（x）=8cosx-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=$\frac{8co{s}^{3}x-1}{co{s}^{2}x}$，
令f′（x）=0，
得：cosx=$\frac{1}{2}$
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴x=$\frac{π}{3}$．
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{3}$）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上是單調(diào)減函數(shù)．
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$3\sqrt{3}$
故答案為：$3\sqrt{3}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，求其最大值的問題．屬于基礎(chǔ)題．