Question

已知曲線C：y=-x²+x+2關(guān)于點(diǎn)M（-1，-2）對(duì)稱的曲線為Cn，且曲線C與Cn有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出曲線Cn上的任一點(diǎn)（x，y），設(shè)出該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M（-1，-2）的對(duì)稱點(diǎn)為（x₀，y₀），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，再由（x₀，y₀）在曲線C：y=-x²+x+2上，代入坐標(biāo)后整理即可得到曲線為Cn的方程，然后設(shè)出兩曲線交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，代入兩曲線方程后作差求出直線AB的斜率，利用點(diǎn)斜式求得直線AB的方程．

解答：解：設(shè)（x，y）為曲線Cn上的任一點(diǎn)，（x，y）關(guān)于點(diǎn)M（-1，-2）的對(duì)稱點(diǎn)為（x₀，y₀），
則x₀=-2-x，y₀=-4-y．
依題意，點(diǎn)（x₀，y₀）在曲線C上，∴-4-y=-（-2-x）²-2-x+2．
化簡(jiǎn)、整理，得曲線Cn的方程：y=x²+5x；
由

y=-x2+x+2 y=x2+5x

消去y，得：x²+2x-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2，x₁x₂=-1．
∵y1=-

x

2 1

+x1+2，y2=-

x

2 2

+x2+2．
兩式相減，得：

y1-y2=[1-(x1+x2)](x1-x2) ∵x1≠x2 ∴k= y1-y2 x1-x2 =1-(x1+x2)=3

∴直線AB方程為：y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線與方程，考查了代入法求曲線的方程，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求直線的斜率，屬中高檔題．