Question

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數(shù)f（x）有下列性質(zhì)：“若x∈[a，b]，則存在x₀（a，b）使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′（x₀）”成立．利用這個性質(zhì)證明x₀唯一；
（Ⅲ）設A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

分析：（I）由凹函數(shù)的定義，研究f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

即可；（II）由

f(b)-f(a)

b-a

=f′（x₀）即證明f（x）是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)；（III）由A、B、C是函數(shù)f（x）圖象上三個不同的點，聯(lián)系到點的坐標，要證明△ABC是鈍角三角形，可用向量法．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）是凹函數(shù)，證明如下：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)
=ln(1+ex1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+e

x1+x2

2

)-

x1+x2

2

]
=ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+e

x1+x2

2

)2
=ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∵ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2
∴ex1+ex2＞2

ex1ex2

=2e

x1+x2

2

∴1+ex1+ex2+ex1+x2＞1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)＞ln(2+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)＞0
∴f(x1)+f(x2)＞2f(

x1+x2

2

)
∴f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

∴f（x）是凹函數(shù)（5分）

證明：（II）假設x′₀，x₀∈（a，b），且x′₀≠x₀，
使得f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀），
①f（b）-f（a）=（b-a）f′（x′₀），②
①-②得，（b-a）f′（x₀）=（b-a）f′（x′₀），
∵b＞a，∴b-a≠0∴f′（x₀）=f′（x′₀）
∵f′(x)=

ex

1+ex

-1=

-1

1+ex

，記g(x)=f′(x)=-

1

1+ex

∴g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0∴f′（x）是[a，b]上的單調(diào)增函數(shù)
∴x₀=x′₀，這與x′₀≠x₀矛盾，即x₀是唯一的．（10分）

證明：（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，∵f′(x)=

-1

1+ex

＜0
∴f（x）是x∈R上的單調(diào)減函數(shù)∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x2)-f(x2))
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B為鈍角 
故△ABC為鈍角三角形．（14分）

點評：本題主要通過新函數(shù)來考查不等式的證明，通過導數(shù)來考查函數(shù)的單調(diào)性，通過三角形形狀的判斷來考查向量的坐標形式．