Question

已知定義在實數集上的函數f（x）的圖象關于點（-

3

4

，0）對稱，且滿足f（x）+f（x-

3

2

）=0，f（-1）=3，f（0）=-6
（1）求證f（x）是以3為周期的函數；
（2）求證f（x）是偶函數；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數奇偶性的判斷,函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據題周期函數定義即可證明；
（2）利用圖象的對稱中心，得到f（x）=-f（

3

2

-x），再根據f（x）+f（x-

3

2

）=0，即可證明；
（3）先求出f（-1）+f（0）+f（1）=0，看出所給的求函數值的式子中數字的個數除以3，余數是多少，看出結果．

解答： （1）證明：∵f（x）+f（x-

3

2

）=0，
令x=x+

3

2

，
∴f（x+

3

2

）+f（x）=0，
再令x=x+

3

2

，
∴f（x+3）+f（x+

3

2

）=0，
∴f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
即f（x）是一個以3為周期的周期函數
（2）證明：∵函數f（x）的圖象關于點（-

3

4

，0）對稱，
∴f（x）=-f（

3

2

-x），又函數f（x）滿足f（x）+f（x-

3

2

）=0，
∴f（-

3

2

-x）=f（x+

3

2

），
即f（x）=f（-x）
故函數f（x）為定義在R上的偶函數
（3）解：∵f（-1）=3，f（0）=-6，
∴f（-1）=f（1）=3，
∴f（-1）+f（0）+f（1）=0．
又 2012=670×3+2，
故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2012 ）=670×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（-1）=2

點評：本題考查的知識點是函數的周期性，奇偶函數圖象的對稱性，其中根據已知條件確定出函數的周期，及一個周期中各整數對應的函數值，是解答本題的關鍵．