Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
（1）求函數(shù)y=f（x）的最大、最小值以及相應的x值；
（2）若x∈[0，2π]，求函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間；
（3）若y＞2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用正弦函數(shù)的最值，求函數(shù)y=f（x）的最大、最小值以及相應的x值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，求出函數(shù)的函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間，然后求出在x∈[0，2π]的范圍即可．
（3）利用y＞2，推出函數(shù)的表達式，通過解方程直接求x的取值范圍．

解答：解：（1）當2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

5π

12

，k∈Z時，函數(shù)y=f（x）取得最大值為3，
當2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

12

，k∈Z時，函數(shù)y=f（x）取得最小值為-1；
（2）令T=2x-

π

3

，則當2kπ-

π

2

≤T≤2kπ+

π

2

，即2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
也即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）時，函數(shù)y=2sinT+1單調遞增．又x∈[0，2π]，
∴函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間[0，

5π

12

]，[

11π

12

，

17π

12

]，[

23π

12

，2π]；
（3）若y＞2，∴sin(2x-

π

3

)＞

1

2

，從而2kπ+

π

6

＜2x-

π

3

＜2kπ+

5π

6

，k∈Z．
解得：kπ+

π

4

＜x＜kπ+

7π

12

，k∈Z．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的基本性質的應用，能夠通過基本函數(shù)的基本性質，靈活解答是解題的關鍵．