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7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線y=x+1交橢圓于A、B兩點(diǎn),P為橢圓上的一點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

分析 (1)由橢圓的離心率為63,短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(2)聯(lián)立{x23+y2=1y=x+1,得|AB|=322,由P(\sqrt{3}cosθ,sinθ),求出點(diǎn)P到直線y=x+1的距離的最大值,由此能求出△PAB面積的最大值.

解答 解:(1)∵橢圓C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的離心率為\frac{{\sqrt{6}}}{3},
短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是\sqrt{3}
\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\end{array}\right.,解得a=\sqrt{3},c=\sqrt{2},∴b=\sqrt{3-2}=1,
∴橢圓C的方程為\frac{x^2}{3}+{y^2}=1
(2)聯(lián)立\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.,得\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.,
∴A(0,1),B(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}),∴|AB|=\sqrt{(-\frac{3}{2}-0)^{2}+(-\frac{1}{2}-1)^{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{2},
∵P為橢圓上的一點(diǎn),∴P(\sqrt{3}cosθ,sinθ),
點(diǎn)P到直線y=x+1的距離d=\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|2sin(θ+120°)+1|}{\sqrt{2}}
∴當(dāng)θ=-30°時(shí),點(diǎn)P到直線y=x+1的距離d取最大值\frac{3\sqrt{2}}{2},
∴△PAB面積的最大值S=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{4}

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查三角形面積的最大值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用.

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