Question

如圖, 已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求證：AG平面BDE;

（2）求：二面角GDEB的余弦值.

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)，平面ABCD⊥平面BCEG，可證 兩兩垂直，據(jù)此建設(shè)立以 為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，寫出 諸點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面 的一個法向量 ，由于，要證AG平面BDE，只要證即可；

（2）設(shè)平面的一個法向量為 ，由求出的坐標(biāo)，最后利用向量 求出二面角GDEB的余弦值.

試題解析：

【解析】
由平面，平面

,

平面BCEG, ，

由平面，知，.2分

根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得

.3分

（1）設(shè)平面BDE的法向量為，則

即 ， ，

平面BDE的一個法向量為..5分

，，

，∴AG∥平面BDE. .7分

（2）由（1）知

設(shè)平面EDG的法向量為，則 即

平面EDG的一個法向量為..9分

又平面BDE的一個法向量為，

設(shè)二面角的大小為，則，

二面角的余弦值為.12分

考點(diǎn)：1、空間直角坐系；2、利用空間向量的數(shù)量積判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系；3、利用空間向量的夾角求二面角的平面角的余弦.