Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=3-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）解不等式f（-x）≥f（x）．

Answer 1

解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=3-2x
∴f（-x）=3+2x
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（x）=-3-2x
∵x=0時(shí)，f（x）=0
f（x）=；
（2）x＞0時(shí)，f（x）=3-2x，∴f（x）單調(diào)減，
由奇函數(shù)性質(zhì)，得在x＜0時(shí)，f（x）也單調(diào)減
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
（3）f（-x）≥f（x）等價(jià)于f（x）≤0，
∵f（x）=
∴或x=0或
∴-x≤0或x≥．
分析：（1）利用奇函數(shù)的對稱性，先求出x＜0，x=0的解析式，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）f（-x）≥f（x）等價(jià)于f（x）≤0，結(jié)合分段函數(shù)，可得不等式的解集．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)單調(diào)性，考查解不等式，屬于中檔題．