【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，N為的中點.

（1）求證：平面

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

（3）在線段上是否存在一點M，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由

【答案】（1）見解析；（2）（3）存在，

【解析】

（1）首先過作，垂足為，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出和平面的法向量，根據(jù)即可證明平面.

（2）求出平面的法向量為，再代入二面角公式計算即可得到答案.

（3）首先假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，，得到，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為，求得，所以存在，且.

（1）過作，垂足為，則，

以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則，，，，

，，，

設(shè)平面的一個法向量為

，，

則，令，解得：.

因為，所以

又平面，所以平面.

（2）設(shè)平面的一個法向量為，

因為，，

所以，令，解得.

所以.

即平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（3）假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，，.

因為，所以

則

因為平面的一個法向量

所以，

整理得：，

所以，因為，所以.

所以存在，且.

練習(xí)冊系列答案
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（2）如圖是按該20名學(xué)生的評分繪制的頻率分布直方圖，求的值并估計這20名學(xué)生評分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表）；

（3）求該20名學(xué)生評分的中位數(shù)，并將評分超過和不超過的學(xué)生數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過

不超過

男生

女生

根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為男生和女生的評分有差異？

附：，

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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（1）求游戲結(jié)束時朝上點數(shù)之和為5的概率；

（2）參與者可以選擇兩種方案：方案一：游戲結(jié)束時，若朝上的點數(shù)之和為偶數(shù)，獎勵3本不同的暢銷書；若朝上的點數(shù)之和為奇數(shù)，獎勵1本暢銷書.方案二：游戲結(jié)束時，最后一次朝上的點數(shù)為偶數(shù)，獎勵5本不同的暢銷書，否則，無獎勵.試分析哪一種方案能使游戲參與者獲得更多暢銷書獎勵？并說明判斷的理由.

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