Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=x，則當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式為

f（x）=2-x

．

Answer 1

分析：由已知中f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立得到函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=x，我們易得，x∈（-1，0）時(shí)時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式．

解答：解：因?yàn)?span id="26mlbw1" class="MathJye">f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立⇒f（x）=f（x+2）⇒周期T=2．
∴x∈（-1，0）⇒-x∈（0，1）⇒-x+2∈（2，3）．
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)；
且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=x
∴x∈（-1，0），可得f（x）=f（-x）=f（-x+2）=-x+2．
即x∈（-1，0）時(shí)，f（x）=-x+2．
故答案為：f（x）=-x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察函數(shù)的周期性以及奇偶性．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立得到函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)．