Question

如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm^2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最��？

 

Answer 1

【答案】

廣告的高為140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小

【解析】

試題分析：解法1：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.          ①

廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0.

廣告的面積S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b=,代入①式得a=120，從而b=75.

即當(dāng)a=120，b=75時(shí),S取得最小值24500.

故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25

兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=

廣告的面積S=xy=x()＝x,

整理得S=

因?yàn)?i>x－20＞0，所以S≥2

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即當(dāng)x=140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，

故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.

考點(diǎn)：不等式求解最值

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)的性質(zhì)或者是均值不等式求解最值，關(guān)鍵是設(shè)好變量，表示廣告的面積，屬于基礎(chǔ)題。