Question

（2012•東城區(qū)二模）已知點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，給出下列說法：
①3a-4b+10＞0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，a+b有最小值，無最大值；
③

a2+b2

＞2；
④當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時(shí)，

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞）．
其中，所有正確說法的序號是

③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，我們可以畫出點(diǎn)A（a，b）所在的平面區(qū)域，進(jìn)而結(jié)合二元一次不等式的幾何意義，兩點(diǎn)之間距離公式的幾何意義，及兩點(diǎn)之間連線斜率的幾何意義，逐一分析四個(gè)答案．可得結(jié)論．

解答：解：∵點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，
故點(diǎn)A（a，b）在如圖所示的平面區(qū)域內(nèi)

故3a-4b+10＜0，即①錯(cuò)誤；
當(dāng)a＞0時(shí)，a+b＞

5

2

，a+b即無最小值，也無最大值，故②錯(cuò)誤；
設(shè)原點(diǎn)到直線3x-4y+10=0的距離為d，則d=

10

32+(-4)2

=2，則

a2+b2

＞d=2，故③正確；
當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時(shí)，

b

a-1

表示點(diǎn)A（a，b）與B（1，0）連線的斜率
∵當(dāng)a=0，b=

5

2

時(shí)，

b

a-1

=-

5

2

，又∵直線3x-4y+10=0的斜率為

3

4

故

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞），故④正確；
故答案為：③④

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)的幾個(gè)幾何意義是解答的關(guān)鍵．