Question

【題目】某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有n位學(xué)生，每次活動均需該系k位學(xué)生參加（n和k都是固定的正整數(shù)），假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為X．
（1）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；
（2）求使P（X=m）取得最大值的整數(shù)m．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立事件，所以 與 相互獨立，由于P（A）=P（B）= = ，故P（ ）=P（ ）=1﹣ ，

因此學(xué)生甲收到活動信息的概率是1﹣（1﹣ ）2=

（2）解：當(dāng)k=n時，m只能取n，此時有P（X=m）=P（X=n）=1

當(dāng)k＜n時，整數(shù)m滿足k≤m≤t，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師與張老師各自獨立、隨機(jī)地發(fā)送活動信息給k位”所包含的基本事件總數(shù)為（ ）2，當(dāng)X=m時，同時收到兩位老師所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為2k﹣m，僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件數(shù)為

P（X=m）= =

當(dāng)k≤m＜t時，P（X=M）＜P（X=M+1）（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）m≤2k﹣

假如k≤2k﹣ ＜t成立，則當(dāng)（k+1）2能被n+2整除時，

k≤2k﹣ ＜2k+1﹣ ＜t，故P（X=M）在m=2k﹣ 和m=2k+1﹣ 處達(dá)到最大值；

當(dāng)（k+1）2不能被n+2整除時，P（X=M）在m=2k﹣[ ]處達(dá)到最大值（注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)），

下面證明k≤2k﹣ ＜t

因為1≤k＜n，所以2k﹣ ﹣k= ≥ = ≥0

而2k﹣ ﹣n= ＜0，故2k﹣ ＜n，顯然2k﹣ ＜2k

因此k≤2k﹣ ＜t

綜上得，符合條件的m=2k﹣[ ]

【解析】（1）由題設(shè)，兩位老師發(fā)送信息是獨立的，要計算該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率可先計算其對立事件，該生沒有接到任一位老師發(fā)送的信息的概率，利用概率的性質(zhì)求解；（2）由題意，要先研究隨機(jī)變量X的取值范圍，由于k≤n故要分兩類k=n與k＜n進(jìn)行研究，k=n時易求，k＜n時，要研究出同時接受到兩位老師信息的人數(shù)，然后再研究事件所包含的基本事件數(shù)，表示出P（X=m），再根據(jù)其形式研究它取得最大值的整數(shù)m即可．