如圖,已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4,E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上,且不與點(diǎn)C重合.
(Ⅰ)當(dāng)CF=1時(shí),求證:EF⊥A1C;
(Ⅱ)設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ,求tanθ的最小值.

【答案】分析:(I)過(guò)E作EN⊥AC于N,連接EF,NF,AC1,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影,根據(jù),得NF∥AC,又AC1⊥A1C,故NF⊥A1C,由三垂線(xiàn)定理可得結(jié)論;
(II)連接AF,過(guò)N作NM⊥AF與M,連接ME根據(jù)三垂線(xiàn)定理得EM⊥AF,則∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ,在直角三角形CNE中,求出NE,在直角三角形AMN中,求出MN,故tanθ=,根據(jù)α的范圍可求出最小值.
解答:解:(I)過(guò)E作EN⊥AC于N,連接EF,NF,AC1,由直棱柱的性質(zhì)可知,底面ABC⊥側(cè)面A1C
∴EN⊥側(cè)面A1C
NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影
在直角三角形CNF中,CN=1
則由,得NF∥AC1,又AC1⊥A1C,故NF⊥A1C
由三垂線(xiàn)定理可知EF⊥A1C
(II)連接AF,過(guò)N作NM⊥AF與M,連接ME
由(I)可知EN⊥側(cè)面A1C,根據(jù)三垂線(xiàn)定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
設(shè)∠FAC=α則0°<α≤45°,
在直角三角形CNE中,NE=,在直角三角形AMN中,MN=3sinα
故tanθ=,又0°<α≤45°∴0<sinα≤
故當(dāng)α=45°時(shí),tanθ達(dá)到最小值,
tanθ=,此時(shí)F與C1重合
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查了空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
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如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長(zhǎng)都為a,P為線(xiàn)段A1B上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)試確定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大�。�

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13
13
cm.

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如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都為a,P為A1B上的點(diǎn).
(1)試確定
A1P
PB
的值,使得PC⊥AB;
(2)若
A1P
PB
=
2
3
,求二面角P-AC-B的大�。�
(3)在(2)的條件下,求C1到平面PAC的距離.

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(2011•重慶三模)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為a,截面AB1C和A1BC1相交于DE,則三棱錐B-B1DE的體積為
3
48
a3
3
48
a3

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