Question

如圖，△ABC是邊長為1的正三角形，M，N分別是邊AB，AC上的點，線段MN過△ABC的重心G，設∠MGA=α，α∈[

π

3

，

2π

3

]．
（1）當α=105°時，求MG的長；
（2）分別記△AGM，△AGN的面積為S₁，S₂，試將S₁，S₂表示為α的函數(shù)；
（3）求y=

1

S12

+

1

S22

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)重心的性質(zhì)求得AG，利用正弦定理求得MG．
（2）利用正弦定理表示出MG，NG，進而根據(jù)三角形面積公式求得S₁，S₂關于α的函數(shù)；
（3）利用（2）中結(jié)論，用α表示出y的函數(shù)解析式，利用α的范圍求得其最大和最小值．

解答： 解：（1）∵，△ABC是邊長為1的正三角形，G為重心，

∴AG=

2

3

AD=

3

3

在△AMG中∠MGA=105°，∠MAG=30°，
∴∠AMG=45°
由正弦定理得

MG

sin30°

=

AG

sin45°

∴MG=

AG

sin45°

•sin30°=

6

6

，
（2）∵在△AMG中，∠MAG=30°，
∴∠AMG=150°-α，
由正弦定理得   MG=

AG

sin(1500-α)

sin300=

3

6sin(1500-α)

在△ANG中，同理可得NG=

AG

sin(α-300)

sin300=

3

6sin(α-300)

∴S1=

1

2

AG•MG•sinα=

sinα

12sin(1500-α)

α∈[

π

3

，

2π

3

]
∴S1=

1

2

AG•NG•sinα=

sinα

12sin(α-300)

α∈[

π

3

，

2π

3

]
（3）y=

1

S12

+

1

S22

=

144sin2(1500-α)

sin2α

+

144sin2(α-300)

sin2α

=

72[1-cos(3000-2α)]

sin2α

+

72[1-cos(2α-600)]

sin2α

=

72(2-cos2α)

sin2α

=

144-72(1-2sin2α)

sin2α

=

72

sin2α

+144
∵α∈[

π

3

，

2π

3

]
∴當α=

π

2

，ymin=216
當α=

π

3

或

2π

3

，ymax=240

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等知識點．