Question

【題目】已知數列的前項和為，且滿足；數列的前項和為，且滿足，，．

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的通項公式；

（3）是否存在正整數，使得恰為數列中的一項？若存在，求滿足要求的那幾項；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）滿足要求的為.

【解析】

（1）由當n≥2時，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可求得an＝2an﹣1，則數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列；

（2）由．采用“累乘法”即可求得當n≥2時，bn+1﹣bn﹣1＝2，數列{bn}的奇數項，偶數項分別成等差數列，b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，數列{bn}是以b1＝1為首項，1為公差的等差數列，即可求得數列{an}、{bn}的通項公式；

（3）設cn，作差比較大小，cn＞cn+1＞1，根據數列的單調性，即可求得存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3．

（1）由Sn＝2an﹣2，則當n≥2時，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，

兩式相減得：an＝2an﹣2an﹣1，則an＝2an﹣1，

由S1＝2a1﹣2，則a1＝2，

∴數列{an}是以2為首項，2為公比的等比數列，則an＝2n，

（2）由．

則，，，…，．

以上各式相乘，，則2Tn＝bnbn+1，

當n≥2時，2Tn﹣1＝bn﹣1bn，兩式相減得：2bn＝bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1＝2，

∴數列{bn}的奇數項，偶數項分別成等差數列，

由，則b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，

∴數列{bn}是以b1＝1為首項，1為公差的等差數列，

∴數列{bn}的通項公式bn＝n；

（3）當n＝1時，無意義，

設cn，（n≥2，n∈N*），

則cn+1﹣cn0，

即cn＞cn+1＞1，

顯然2n+n+1＞2n﹣（n+1），則c2＝7＞c3＝3＞c4＞…＞1，

∴存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3，

下面證明不存在c2＝2，否則，cn2，即2n＝3（n+1），

此時右邊為3的倍數，而2n不可能是3的倍數，故該不等式成立，

綜上，滿足要求的bn為b3，b7．