設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在區(qū)間[-2,2]上的最大值、最小值分別是M、m,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;
(2)若A={1},且a≥1,記g(a)=M+m,求g(a)的最小值.
分析:(1)由f(0)=2得到c的值,集合A的方程可變?yōu)閒(x)-x=0,因為A={1,2},得到1,2是方程的解,根據(jù)韋達(dá)定理即可求出a和b,把a、b、c代入得到f(x)的解析式,在[-2,2]上根據(jù)函數(shù)的圖象可知m和M的值.
(2)由集合A={1},得到方程f(x)-x=0有兩個相等的解都為1,根據(jù)韋達(dá)定理求出a,b,c的關(guān)系式,根據(jù)a大于等于1,利用二次函數(shù)求最值的方法求出在[-2,2]上的m和M,代入g(a)=m+M中得到新的解析式g(a)=9a-
-1,根據(jù)g(a)的在[1,+∞)上單調(diào)增,求出g(a)的最小值為g(1),求出值即可.
解答:解:(1)由f(0)=2可知c=2,
又A={1,2},故1,2是方程ax
2+(b-1)x+c=0的兩實根.
∴
,解得a=1,b=-2
∴f(x)=x
2-2x+2=(x-1)
2+1,
因為x∈[-2,2],根據(jù)函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=1時,
f(x)
min=f(1)=1,即m=1;
當(dāng)x=-2時,f(x)
max=f(-2)=10,即M=10.
(2)由題意知,方程ax
2+(b-1)x+c=0有兩相等實根x
1=x
2=1,
根據(jù)韋達(dá)定理得到:
,即
,
∴f(x)=ax
2+bx+c=ax
2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2]其對稱軸方程為x=
=1-
又a≥1,故1-
∈[,1)∴M=f(-2)=9a-2
m=
f()=1-則g(a)=M+m=9a-
-1
又g(a)在區(qū)間[1,+∞)上為單調(diào)遞增的,∴當(dāng)a=1時,g(a)
min=
點評:考查學(xué)生靈活運用韋達(dá)定理解決實際問題,掌握利用數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學(xué)問題,會求一個閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值.