Question

9．已知二次函數(shù)f（x）滿足不等式f（x）＜5x-2的解集是（1，2），且f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-1）．記函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\\{-f（x），x≤0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并畫(huà)出g（x）的圖象；
（Ⅱ）求關(guān)于x的方程2g²（x）-5g（x）+2=0不同的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2，且a＞0，將（-1，-1）代入可得f（x）的解析式，進(jìn)而可得g（x）的解析式，畫(huà)出g（x）的圖象；
（Ⅱ）設(shè)t=g（x），則方程2g²（x）-5g（x）+2=0可化為：2t²-5t+2=0，結(jié)合（I）中圖象，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）＜5x-2的解集是（1，2），
故可設(shè)f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2，且a＞0，
又因?yàn)閒（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-1），
所以a=1
所以f（x）=（x-1）（x-2）+5x-2=x²+2x．…（4分）
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{2}x|，x＞0\\-{x}^{2}-2x，x≤0\end{array}\right.$．其圖象如下圖所示：…（8分）

（Ⅱ）設(shè)t=g（x），則方程2g²（x）-5g（x）+2=0可化為：2t²-5t+2=0，
解得：t=$\frac{1}{2}$或t=2
即g（x）=$\frac{1}{2}$或g（x）=2，
由（I）圖象可知方程g（x）=$\frac{1}{2}$有4個(gè)不同根，
方程g（x）=2有2個(gè)不同根．
從而所求方程共有6個(gè)不同的根．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．