Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-＜φ＜）的圖象與x軸交點(diǎn)為（-，0），與此交點(diǎn)距離最小的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和；
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）的圖象的周期擴(kuò)大為原來的兩倍，然后向右平移個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若對(duì)任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在區(qū)間[0，]上至多有一個(gè)解，求正數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由圖象最高點(diǎn)得A，由周期T=4×（+）=π，可求ω，由f（-）=0及-＜φ＜可得φ；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的周期可知方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]內(nèi)有4個(gè)實(shí)根，結(jié)合圖象利用根的對(duì)稱性可得所有實(shí)根之和；
（Ⅲ）根據(jù)圖象變換得到g（x），作出|g（x）|的圖象，結(jié)合圖象利用伸縮變換可得圖象應(yīng)伸長的倍數(shù)，從而得到k的范圍；
解答：解：（Ⅰ）從圖知，函數(shù)的最大值為1，則A=1，
函數(shù)f（x）的周期為T=4×（+）=π，而T=，則ω=2，
又x=-時(shí)，y=0，所以sin（2×（-）+φ）=0，而-＜φ＜，則φ=，
所以函數(shù)f（x）的表達(dá)式為f（x）=sin（2x+）；
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=sin（2x+）的周期為π，
f（x）=sin（2x+）在[0，2π]內(nèi)恰有2個(gè)周期，并且方程sin（2x+）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]內(nèi)有4個(gè)實(shí)根，
，，
故所有實(shí)數(shù)根之和為；
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-）+1，
函數(shù)y=|g（x）|的圖象如圖所示：
則當(dāng)y=|g（x）|圖象伸長為原來的5倍以上時(shí)符合題意，所以0＜k≤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定解析式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．