Question

己知函數(shù)
（Ⅰ）當a=0時，求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若在A內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當a=0時，，令t（x）=3-x²結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求t（x）_max=t（0），由復合函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）_max=f（0），進而可求函數(shù)f（x）的值域
（II）由題意可得A=（-∞，5），由于f（t）=2^t為R上的增函數(shù)要使得在（-∞，5）為增函數(shù)，只需t（x）=-x²+ax+3在（-∞，5）內(nèi)是增函數(shù)，可求
解答：解：（I）當a=0時，，令t（x）=3-x²
當x∈（-∞，0]時，t（x）為增函數(shù)；當x∈（-∞，0）時t（x）為減函數(shù)，且t（x）_max=t（0）=3（3分）
∵f（x）的底數(shù)大于1，所以f（x）_max=f（0）=8
故函數(shù)f（x）的值域為（0，8]（6分）
（II）函數(shù)y=lg（5-x）的定義域為（-∞，5），f（t）=2^t為R上的增函數(shù)
要使得在（-∞，5）為增函數(shù)
只需t（x）=-x²+ax+3在（-∞，5）內(nèi)是增函數(shù)（9分）
命題等價于解得a≥10
即a的范圍為[10，+∞）（12分）
點評：本題主要考查了由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復合而成的復合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵是熟練應用二次函數(shù)的性質(zhì)