Question

平面直角坐標系中，已知定點A₁（-

7

，0），A₂（

7

，0），動點B₁（0，m），B₂（0，

1

m

），（m∈R且m≠0），直線A₁B₁與直線A₂B₂的交點N的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）斜率為1的直線l交軌跡C于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓與y軸相切，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直線A₁B₁為：y=

m

7

x+m，直線A₂B₂為：y=-

1

7 m

x+

1

m

，由此能求出軌跡C的方程．
（2）設直線方程為y=x+n，與橢圓聯(lián)立方程

x2 7 +y2=1 y=x+n

，得8x²+14nx+7n²-7=0，由此能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）直線A₁B₁為：y=

m

7

x+m，
直線A₂B₂為：y=-

1

7 m

x+

1

m

，
∴其交點滿足方程

y= m 7 x+m y=- 1 7 m x+ 1 m

，
相乘消去m，得軌跡C的方程：

x2

7

+y2=1（x≠-

7

）．…（5分）
（2）設直線方程為y=x+n，
與橢圓聯(lián)立方程

x2 7 +y2=1 y=x+n

，得8x²+14nx+7n²-7=0，
以PQ為直徑的圓與y軸相切，∴|PQ|=x₁+x₂，
∴

2

|x1-x2|=x1+x2，∴(x1+x2)2=8x1x2，
∴7n²=16n²-16，∴n2=

16

9

，∴n=

4

3

或 n=-

4

3

，
∴直線l的方程為y=x+

4

3

，或 y=x-

4

3

．…（13分）

點評：本題主要考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線與橢圓、圓等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．