Question

二面角α-EF-β的大小為120°，A是它內部的一點AB⊥α，AC⊥β，B，C分別為垂足．
（1）求證：平面ABC⊥β；
（2）當AB=4cm，AC=6cm，求BC的長及A到EF的距離．

Answer 1

（1）∵AB⊥α，EF?α，∴EF⊥AB，
同理EF⊥AC，AB，AC是兩條相交直線，
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?β，∴平面ABC⊥平面β．
（2）設平面ABC與EF交于點D，連接BD，CD，則BD，CD?平面ABC，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，EF⊥DC，∠BDC是二面角α-EF-β的平面角，∠BCD=120°，A，B，C，D在同一平面內，且∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠BAC=60°，當AB=4cm，AC=6cm時，
BC=

AB2+AC2-2AB×AC×cos60°

又∵A，B，C，D共圓，∵AD是直徑．∵EF⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥EF，即AD是A到EF的距離，由正弦定理，得AD=

BC

sinA

=

4 21

3

（cm）