Question

（2009•南通二模）如圖，在四棱椎P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，
（1）若點E是CD上的動點，求三棱椎E-PAB體積；
（2）若E是CD的中點，F(xiàn)是PD上一點，PE與AF成60°角，求

FD

PD

的值．

Answer 1

分析：（1）利用轉(zhuǎn)化思想把三棱椎E-PAB體積轉(zhuǎn)化為三棱錐P-ABE的體積，然后直接代入體積公式求解；
（2）分別以AB、AD、AP為x、y、z軸建立坐標系，設(shè)

FD

PD

=m，把F點的坐標用含有m的代數(shù)式表示，利用空間向量所成的角求解運算．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，△ABE是定值，
∴VE-PAB=VP-ABE=

1

3

S△ABE•PA=

1

3

×

1

2

×1×2×1=

1

3

；
（2）分別以AB、AD、AP為x、y、z軸建立坐標系（如圖），
則由題知：A（0，0，0），P（0，0，1），E為CD中點，CD=2，E（1，1，0），

PE

=（1，1，-1）
設(shè)

FD

PD

=m，F(xiàn)（0，1-m，m）（0≤m≤1），

AF

=（0，1-m，m）
PE與AF成60°角，則|

PE • AF

| PE |•| AF |

|=

1

2

即|

1-2m

3 (1-m)2+m2

|=

1

2

化簡得10m²-10m+1=0，m=

1

2

±

15

10

經(jīng)檢驗，均滿足0≤m≤1，故

FD

PD

=

1

2

±

15

10

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了等積法，考查了利用空間向量求異面直線所成的角，是中檔題．