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設x軸、y軸正方向的單位向量分別為
i
,
j
,坐標平面上的點An滿足條件:
OA1
=
+
,   
AnAn+1
=2n
-
(n∈N*).
(1)若數列{an}的前n項和為sn,且sn=
OA1
AnAn+1
,求數列{an}的通項公式.
(2)求向量 
OAn+1
的坐標,若△OA1An+1(n∈N*)的面積S△OA1An+1構成數列{bn},寫出數列{bn}的通項公式.
(3)若cn=
bn
an
-2,指出n為何值時,cn取得最大值,并說明理由.
考點:平面向量數量積的運算
專題:計算題,等差數列與等比數列,平面向量及應用
分析:(1)運用向量的數量積的坐標表示,結合向量垂直的條件,可得Sn,再由an與Sn的關系,即可求得數列{an}的通項公式;
(2)運用向量的多邊形法則,以及等比數列的求和公式,得到An+1的坐標,再由三角形的面積公式即可得到面積,即為數列{bn}的通項公式;
(3)判斷數列{cn}的單調性,運用作差法,即為cn-cn-1,即可判斷最大值.
解答: 解:(1)由題意sn=
OA1
AnAn+1
=2n-1
①,
當n=1時,a1=s1=2 -1=1,
當n≥2時,sn-1=2n-1-1
由 ①-②得:an=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
又當n=1時,a1=1符合題意,所以an=2n-1(n∈N*)                
(2)解:
OAn+1
=
OA1
+
A1A2
+…+
AnAn+1
=(1+2+22+…+2n
i
+(1-1-1-…-1)
j

=(2n+1-1)
i
+(1-n)
j
,
所以,
OAn+1
=(2n+1-1 , 1-n)
,
由當n∈N*時,△OA1An+1的頂點坐標分別為:
O(0,0) 、A1(1 , 1) 、An+1(2n+1-1 , 1-n)得,S△OA1An+1=
1
2
.
111
001
2n+1-11-n1
.
=
1
2
(2n+1+n-2)=2n+
n-2
2
,
bn=2n+
n-2
2
(n∈N*)            
(3)cn=
bn
an
-2=
2n+
n-2
2
2n-1
-2=
n-2
2n

當n≥2時,cn-cn-1=
n-2
2n
-
n-3
2n-1
=
4-n
2n
,
∴1≤n≤3時,{cn}是遞增數列,n≥5時,{cn}是遞減數列,
c1<c2<c3=c4>c5>c6>…>cn>…,
∴當n=3或n=4時,cn取得最大值,c3=c4=
1
8
點評:本題考查平面向量的數量積的坐標表示,考查數列的通項和前n項和的關系,考查數列的單調性的運用,考查運算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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若y=f(x)的定義域是[0,1],則函數y=f(x+1)的定義域是
 
,y=f(sinx)的定義域是
 

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根據下列關系,寫出角α與角β的一個關系式:(用弧度制表示)
(1)角α與角β的終邊關于x軸對稱:
 
;
(2)角α與角β的終邊關于y軸對稱:
 
;
(3)角α與角β的終邊關于原點軸對稱:
 
;
(4)角α與角β的終邊關于y=x軸對稱:
 

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給定兩個長度為1的平面向量
OA
OB
,它們的夾角為60°.如圖所示,點C在以O為圓心的圓弧
AB
上變動.若
OC
=x
OA
+y
OB
,其中x,y∈R,則x+2y的最大值是(  )
A、2
B、
2
3
3
C、1
D、
3

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已知函數f(x)=x3-3a2x-6a2+3a(a>0)有且僅有一個零點x0,若x0>0,則a的取值范圍是
 

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已知函數f(x)的定義域為(-2,2),導函數為f′(x)=x2+2cosx且f(0)=0,則滿足f(1+x)+f(x2-x)>0的實數x的取值范圍為( �。�
A、(-∞,+∞)
B、(-1,1)
C、(-∞,1-
2
)∪(1+
2
,+∞)
D、(-1,1-
2
)∪(1,1+
2
)

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科目:高中數學 來源: 題型:

若點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數a的值為( �。�
A、
7
9
B、-
1
3
C、
7
9
1
3
D、-
7
9
或-
1
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
kx+k(a-1),x≥0
1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x-a2+2a-2,
x<0
其中a∈R,若對任意的非零實數x1,存在唯一的非零實數x2(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2)成立,則k的最大值為(  )
A、-1B、-2C、-4D、-3

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科目:高中數學 來源: 題型:

把數列{n}(n∈N*),依次按第1個括號一個數,第2個括號兩個數,第3個括號三個數,第4個括號四個數,第5個括號一個數,…,循環(huán)為(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11),(12,13),(14,15,16),(17,18,19,20),(21),…,則第2012個括號內各數之和為
 

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