Question

下面一組圖形為三棱錐P-ABC的底面與三個側(cè)面．已知AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC．

（1）在三棱錐P-ABC中，求證：平面ABC⊥平面PAB；
（2）在三棱錐P-ABC中，M是PA的中點，且PA=BC=3，AB=4，求三棱錐P-MBC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三視圖得出空間幾何體，運用判定定理證明，
（2）運用體積公式求解即可V_P-MBC=V_P-ABC-V_M-ABC．

解答： 證明：（1）如圖，證明：∵PA⊥AB，PA⊥AC，
AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，又∵PA?平面ABP
∴平面ABC⊥平面PAB
解：（2）∵PA=3，M是PA的中點，∴MA=

3

2

．
又∵AB=4，BC=3．
∴V_M-ABC=

1

3

S_△ABC•MA=

1

3

×

1

2

×4×3×

3

2

=3
又V_P-ABC=

1

3

S_△ABC•PA=

1

3

×

1

2

×4×3×3=6，
∴V_P-MBC=V_P-ABC-V_M-ABC=6-3=3

點評：本題考查了空間幾何體的三視圖的運用，判斷面面垂直問題，秋季體積，屬于中檔題．