Question

已知函數(shù)y=2+2sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0 ， 

π

2

]，求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0 ， 

π

2

]，可得t∈[1，

2

]，2sinxcosx=t²-1，故函數(shù)y=t²+t+1，t∈[1，

2

]．再根據(jù)函數(shù)y在[1，

2

]上是增函數(shù)，求得它的最值．

解答：解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0 ， 

π

2

]，可得t∈[1，

2

]，2sinxcosx=t²-1．
故函數(shù)y=t²+t+1，t∈[1，

2

]．
顯然，函數(shù)y在[1，

2

]上是增函數(shù)，
故當(dāng)t=1時，函數(shù)y有最小值為 3，當(dāng)t=

2

時，函數(shù)y取得最大值為3+

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．