Question

在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥CB，CD∥P₁D且P₁D=6，BC=3，DC=

6

，A是P₁D的中點，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°角，設E、F分別是線段AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大小；
（3）求點D到平面PEC的距離．

Answer 1

分析：（1）取PC中點M，連接FM、EM，由F、M分別為PD、PC中點，知FM=

1

2

CD，由E為AB中點，知AE=

1

2

CD，所以FM=AE，F(xiàn)MEA為平行四邊形，由此能夠證明AF∥平面PEC．
（2）延長DA，CE交于點N，連接PN，由AB⊥PA，AB⊥AD，知AB⊥平面PAD，由AB∥DC，知DC⊥平面PAD，所以∠PDA為二面角P-CD-B的平面角．由此入手能夠求出平面PEC和平面PAD所成二面角．
（3）連接ED，由PA⊥平面ABCD，知V_P-CED=

1

3

S_△CED•PA=

3

2

6

，V_P-CED=V_D-PCE=

3

2

6

．由此能求出點D到平面PEC的距離．

解答：（1）證明：取PC中點M，連接FM、EM，
∵F、M分別為PD、PC中點，
∴FM=

1

2

CD，
∵E為AB中點，∴AE=

1

2

CD，
∴FM=AE，∴FMEA為平行四邊形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）解：延長DA，CE交于點N，連接PN，
∵AB⊥PA，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD∵AB∥DC，…6分
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥PD，DC⊥AD，
∴∠PDA為二面角P-CD-B的平面角
∴∠PDA=45°，
∵PA=AD=3∠PDA=45°，
∵PD=3

2

，∴PA⊥AD，
又  PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD，
∵AE∥CD，且E為AB中點，
∴AE=

1

2

CD，∴AE為△NDC的中位線，
∴AN=AD=PA，∴△PND為直角三角形，
又NE=EC=

42

2

，PE=

42

2

，
∴△PNC為直角三角形，
∴PC⊥PN，PD⊥PN，
∴∠CPD為平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角，
又PD=3

2

，CD=

6

，PD⊥DC，
∴tan∠CPD=

CD

PD

=

6

3 2

=

3

3

．
∴∠CPD=30°，
∴平面PEC和平面PAD所成二面角為30°．
（3）解：連接ED，
∵PA⊥平面ABCD，
∴V_P-CED=

1

3

S_△CED•PA=

1

3

×

1

2

×

6

×3×3=

3

2

6

，
V_P-CED=V_D-PCE=

3

2

6

，
設點D到平面PCE的距離為d．
S_△PCE=3

3

，
V_P-PCE=

1

3

S_△DCE•d=

3

2

6

，
∴d=

3 2

2

，
點D到平面PEC的距離為

3 2

2

．

點評：本題考查證明AF∥平面PEC，求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大小，求點D到平面PEC的距離．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．