Question

已知橢圓:的離心率,原點(diǎn)到過點(diǎn),的直線的距離是.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,求 的取值范圍；

（3）如果直線交橢圓于不同的兩點(diǎn),,且,都在以為圓心的圓上,求的值.

 

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由截距式可得直線的方程，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式可得間的關(guān)系，又因?yàn)?/span>，解方程組可得的值。（2）由點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)問題可知直線和直線垂直，且的中點(diǎn)在直線上，由此可用表示出。再將點(diǎn)代入橢圓方程將用表示代入上式，根據(jù)橢圓方程可的的范圍，從而可得出所求范圍。（3）將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)題意可知，可根據(jù)斜率相乘等于列出方程，也可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0列出方程。

試題解析：(Ⅰ)因?yàn)?/span>,,所以 .

因?yàn)樵�點(diǎn)到直線:的距離,解得,.

故所求橢圓的方程為. 4分

(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,

所以 解得 ,.

所以.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓:上,所以.

因?yàn)?/span>, 所以.所以的取值范圍為. 8分

(Ⅲ)由題意消去 ,整理得.可知.

設(shè),,的中點(diǎn)是,

則,.

所以. 所以.

即 . 又因?yàn)?/span>,

所以.

所以 13分

考點(diǎn)：1點(diǎn)到線的距離； 2橢圓方程；3點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)；4轉(zhuǎn)換思想。