分析 先利用定積分分別表示出陰影部分的面積S1與S2,然后求出S1+S2關(guān)于t的函數(shù)解析式和定義域,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最小值.
解答 解 S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y=x2與x軸、直線x=t所圍成的面積,即S1=t•t2-?t0x2dx=23t3.
S2的面積等于曲線y=x2與x軸,x=t,x=1圍成的面積去掉矩形面積,矩形邊長分別為t2,1-t,即S2=?1tx2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13.
所以陰影部分面積S=S1+S2=43t3-t2+13(0≤t≤1).
令S′(t)=4t2-2t=4t(t-12)=0時,得t=0或t=12.
當(dāng)t=0時,S=13;
當(dāng)t=12時,S=14;
當(dāng)t=1時,S=23.
綜上所述,當(dāng)t=12時,S最小,且最小值為14.
點評 本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)最值,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x281+y216=1 | B. | x2+y2=1 | C. | x227+y28=1 | D. | x23+y22=1 |
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