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3.在區(qū)間[0,1]上給定曲線y=x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小,并求最小值.

分析 先利用定積分分別表示出陰影部分的面積S1與S2,然后求出S1+S2關(guān)于t的函數(shù)解析式和定義域,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最小值.

解答 解 S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y=x2與x軸、直線x=t所圍成的面積,即S1=t•t2-?t0x2dx=23t3
S2的面積等于曲線y=x2與x軸,x=t,x=1圍成的面積去掉矩形面積,矩形邊長分別為t2,1-t,即S2=?1tx2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13
所以陰影部分面積S=S1+S2=43t3-t2+13(0≤t≤1).
令S′(t)=4t2-2t=4t(t-12)=0時,得t=0或t=12
當(dāng)t=0時,S=13;
當(dāng)t=12時,S=14;
當(dāng)t=1時,S=23
綜上所述,當(dāng)t=12時,S最小,且最小值為14

點評 本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)最值,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.在同一直角坐標(biāo)系中,方程x29+y24=1所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換{x=13xy=12y后的圖形所對應(yīng)的方程為( �。�
A.x281+y216=1B.x2+y2=1C.x227+y28=1D.x23+y22=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.給出下列例題:
①若奇函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)任意x都有f(x)=f(2-x),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)=(x-3)e-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞);
③若函數(shù)f(x)=f'(π4)cosx+sinx,則f(π4)的值為1;
④函數(shù)f(x)=2|x||log0.5x|-1的零點的個數(shù)為2,
其中真命題是①③④(將你認為真命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.以下四個命題中:
①已知圓C上一定點A和一動點B,O為坐標(biāo)原點,若OP=12OA+OB),則動點P的軌跡為圓;
②設(shè)A、B為兩個定點,k為非零常數(shù),|\overrightarrow{PA}}|-|PB|=k,則動點P的軌跡為雙曲線;
③0<θ<π4,則雙曲線C1x2cos2θy2sin2θ=1與C2y2sin2θx2sin2θtan2θ=1的離心率相同;
④已知兩定點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)和一動點P,若|PF1|•|PF2|=a2(a≠0),則點P的軌跡關(guān)于原點對稱.
其中正確命題的序號為①③④        .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.下列說法
①當(dāng)x>0且x≠1時,有l(wèi)nx+1lnx≥2;
②△ABC中,a>b是sinA>sinB 成立的充要條件;
③函數(shù)y=3sin2x+3cos2x的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象向左平移π6個單位得到;
④已知sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若S7>S5,則S9>S3.;
⑤函數(shù)y=f(1+x)與函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
其中正確的命題的序號為②④.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點對稱.則稱點對[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對“友好點對”(點對[P,Q]與[Q,P]看作同一對“友好點對”).已知函數(shù)f(x)={log2xx0x24xx0則此函數(shù)的“友好點對”有2對.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.設(shè)函數(shù)f(x)=e3x-1,則f″(13)=9.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知函數(shù)f(x)=ab,且a=(cos2x+1,1),b=(1,3sin2x-1).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期、最大值和最小值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.已知f(x)=cosxsinx-3cos2x+32
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,A為銳角且f(A)=32,AB+AC=3AD,AB=3,AD=2,求sin∠BAD.

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同步練習(xí)冊答案