Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤2x²，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的定義域，函數(shù)的導數(shù)，f′（x）=

2x2-ax+1

x

，設g（x）=2x²-ax+1，只需討論g（x）在（0，+∞）上的符號，通過（1）a≤0，（2）0＜a≤2

2

時，a＞2

2

時，f′（x）的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由條件可得lnx+x²-ax≤0（x＞0），轉(zhuǎn)化為a≥

lnx

x

-x恒成立，令h(x)=

lnx

x

-x(x＞0)，求出h′(x)=

1-x2-lnx

x

，方法一：令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），在通過函數(shù)的導數(shù)求出最值，得到a的范圍；
方法二：通過當0＜x＜1時，推出h'（x）＞0；當x＞1時，h'（x）＜0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出h（x）_max，即可求解a≥-1．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分），
f′(x)=

1

x

+x2-a=

2x2-ax+1

x

（x＞0），
設g（x）=2x²-ax+1，只需討論g（x）在（0，+∞）上的符號．…（2分）
（1）若

a

4

≤0，即a≤0，由g（x）過定點（0，1），
知g（x）在（0，+∞）上恒正，故f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．…（3分）
（2）若

a

4

＞0，當a²-8≤0時，即0＜a≤2

2

時，
知g（x）≥0（當x=

2

2

時，取“=”），
故f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；…（4分）
（3）當a²-8＞0，a＞2

2

時，由2x²-ax+1=0，得x=

a± a2-8

4

，
當0＜x＜

a- a2-8

4

或x＞

a+ a2-8

4

時，g'（x）＞0，即f'（x）＞0，
當

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

時，g'（x）＜0，即f'（x）＜0．
則f（x）在(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)上為減函數(shù)，
在(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)上為增函數(shù)．…（5分）
綜上可得：當a≤2

2

時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞）；
當a＞2

2

時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)；
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)．…（6分）
（Ⅱ）由條件可得lnx+x²-ax≤0（x＞0），
則當x＞0時，a≥

lnx

x

-x恒成立，…（8分）
令h(x)=

lnx

x

-x(x＞0)，則h′(x)=

1-x2-lnx

x

，…（9分）
方法一：令k（x）=1-x²-lnx（x＞0），
則當x＞0時，k′(x)=-2x-

1

x

＜0，所以k（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
又h'（1）=0，
所以在（0，1）上，h'（x）＞0；在（1，+∞）上，h'（x）＜0．…（10分）
所以h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；在（1，+∞）上為減函數(shù)．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1．…（12分）
方法二：當0＜x＜1時，1-x²＞0，-lnx＞0，h'（x）＞0；
當x＞1時，1-x²＜0，-lnx＜0，h'（x）＜0．…（10分）
所以h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；在（1，+∞）上為減函數(shù)．
所以h（x）_max=h（1）=-1，所以a≥-1．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，構造法求解函數(shù)的導數(shù)以及單調(diào)性的判斷，函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應用，難度大．