已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,過(guò)右焦點(diǎn)F斜率為
2
的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),若
AF
=3
FB
,則橢圓C的離心率為( 。
A、
1
4
B、
1
2
C、
2
2
D、
3
2
分析:設(shè) |
AF
|
=3m,|
BF
|
=m,故|AB|=4m.由橢圓的第二定義可得|AD|=
3m
e
,|BC|=
m
e
,求得|AE|=
2m
e

由AB的斜率tan∠BAE=
2
,可得cos∠BAE 的值,再由cos∠BAE=
|AE|
|AB|
 求出e的值.
解答:解:如圖所示:過(guò)點(diǎn)A作AD垂直于右準(zhǔn)線,垂足為D;過(guò)點(diǎn)B作BC垂直于右準(zhǔn)線,垂足為C;
過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于AD,垂足為E.
因?yàn)?
AF
=3
FB
,可設(shè) |
AF
|
=3m,|
BF
|
=m,故|AB|=4m.
由橢圓的第二定義可得|AD|=
3m
e
,|BC|=
m
e
,|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=
2m
e

由于直線AB的斜率等于
2
,∴tan∠BAE=
2
,∴cos∠BAE=
3
3

直角三角形ABE中,cos∠BAE=
|AE|
|AB|
=
2m
e
4m
=
1
2e
=
3
3
,解得離心率e=
3
2
,
故選:D.
精英家教網(wǎng)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的第二定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,直角三角形中的邊角關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形
結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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