Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺)，總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)；銷售收入R(x)(萬元)滿足：R(x)＝假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求下列問題．
(1)要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
(2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？

Answer 1

（1）大于100臺，小于820（2）400臺

依題意，G(x)＝x＋2，設(shè)利潤函數(shù)為f(x)，則
f(x)＝
(1)要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，解不等式－0.4x²＋3.2x－2.8>0，
即x²－8x＋7<0，得1<x<7，
∴1<x≤5.
當(dāng)x>5時(shí)，解不等式8.2－x>0，得x<8.2，
∴5<x<8.2.
綜上所述，要使工廠贏利，x應(yīng)滿足1<x<8.2，即產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)控制在大于100臺，小于820臺的范圍內(nèi)．
(2)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝－0.4(x－4)²＋3.6，
故當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最大值3.6；
而當(dāng)x>5時(shí)，f(x)<8.2－5＝3.2.
所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時(shí)，贏利最多