Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx（b為常數）．
（Ⅰ）求函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）+g（x），若函數h（x）在定義域上存在單調減區(qū)間，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數，求出切點，斜率，求出切線方程；
（Ⅱ）寫出h（x）的表達式，并求出導數h′（x），由條件知h′（x）＜0在x＞0上有解，運用基本不等式求出

1

x

+x的最小值，令b大于最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=

1

x

，
∴f′（1）=1，
即函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為1，
且f（1）=ln1=0，
∴函數f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1；
（Ⅱ）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x²-bx（b為常數），
∴h′（x）=

1

x

+x-b，
 由題意知h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，設m（x）=h′（x）=

1

x

+x-b，
∵

1

x

+x≥2，當且僅當x=1取最小值2，
∴b＞2，即b的取值范圍為（2，+∞）．

點評：本題主要考查導數的綜合運用：求切線方程、求單調性，同時考查不等式有解的條件a＞f（x）有解，只要求f（x）的最小值，即a大于最小值．