Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域R上的奇函數(shù)．
（1）若f（1）＞0，試求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f(1)=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：先利用f（x）為R上的奇函數(shù)得f（0）=0求出k以及函數(shù)f（x）的表達式，
（1）利用f（1）＞0求出a的取值范圍以及函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再把不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，再利用求得的單調(diào)性解不等式即可；
（2）先由f（1）=

3

2

得a=2，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，，再對g（x）進行整理，整理為用f（x）表示的函數(shù)，最后利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及最值來求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

解答：解：∵f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴k-1=0?k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x
（1）∵f（1）＞0，∴a-a^-1＞0，a＞0，∴a＞1．
∴f（x）為R上的增函數(shù)
由f（x²+2x）+f（x-4）＞0得：f（x²+2x）＞f（4-x）
即：x²+3x-4＞0?x＜-4或x＞1．
即不等式的解集（-∞，-4）∪（1，+∞）．
（2）由f（1）=

3

2

得a=2，
由（1）可知f（x）為[1，+∞）上的增函數(shù)．
f（x）≥f（1）=

3

2

所以g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x）=（f（x）-2）²-2≥-2（當(dāng)f（x）=2時取等號）
故g（x）在[1，+∞）上的最小值-2．

點評：本題是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查．對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查的一般出題形式是解不等式的題，解題方法是先利用奇偶性進行轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性解不等式．