Question

首屆重慶三峽銀行•長(zhǎng)江杯乒乓球比賽于2014年11月14-16日在萬(wàn)州三峽之星舉行，決賽中國(guó)家乒乓隊(duì)隊(duì)員張超和國(guó)家青年隊(duì)隊(duì)員夏易正進(jìn)行一場(chǎng)比賽．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽張超獲勝的概率為

2

3

，夏易正獲勝的概率為

1

3

，本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的人獲勝，比賽結(jié)束．設(shè)各局比賽相互間沒(méi)有影響．試求：
（1）比賽以張超3勝1敗而宣告結(jié)束的概率；
（2）令ξ為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)．求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）以張超3勝1負(fù)而結(jié)束比賽，則張超第4局必勝而前3局必有1局?jǐn)。�由此能求出比賽以張�?勝1敗而宣告結(jié)束的概率．
（2）ξ的所有取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）以張超3勝1負(fù)而結(jié)束比賽，則張超第4局必勝而前3局必有1局?jǐn)。?br />∴所求概率為P=

C

1 3

(1-

2

3

)×(

2

3

)3=

8

27

（2）ξ的所有取值為3，4，5，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

3

)3(

1

3

)0+

C

0 3

(

2

3

)0(

1

3

)3=

1

3

，
P（ξ=4）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)1(

2

3

)+

C

1 3

(

2

3

)1(

1

3

)2(

1

3

)=

10

27

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

8

27

，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．