Question

已知y=f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有2f（x）+f（-x）+2^x=0成立，
（1）試求f（x）的解析式； 
（2）試討論f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義予以證明．

Answer 1

分析：（1）把2f（x）+f（-x）+2^x=0中的x換為-x可得2f（-x）+f（x）+2^-x=0，聯(lián)立兩式可求得f（x）；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷證明；

解答：解：（1）由2f（x）+f（-x）+2^x=0①，
得2f（-x）+f（x）+2^-x=0②，
聯(lián)立①②可解得f（x）=

1

3

(2-x-2x+1)，
∴f（x）=

1

3

(2-x-2x+1)；
（2）f（x）為R上的減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

3

(2-x1-2x1+1)-

1

3

(2-x2-2x2+1)
=

1

3

[（

1

2x1

-

1

2x2

）+2（2x2-2x1）]
=

1

3

(2x2-2x1)（

1

2x1+x2

+2），
又x₁0，

1

2x1+x2

+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定義域R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解及單調(diào)性的判斷，定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法，若已知條件為關(guān)于f（x）和f（-x）的表達(dá)式，則可通過(guò)構(gòu)造方程求解析式